Το άπειρο υπήρξε πάντοτε μία από τις πιο γοητευτικές και ταυτόχρονα ανησυχητικές έννοιες της ανθρώπινης σκέψης. Από τα πρώτα φιλοσοφικά ερωτήματα της αρχαιότητας μέχρι τα πιο προχωρημένα μαθηματικά και φυσικά μοντέλα του σήμερα, εμφανίζεται ως δύναμη που άλλοτε γεννά νέες ιδέες και άλλοτε σηματοδοτεί τα όρια της κατανόησής μας.
Ο Αναξίμανδρος μίλησε για το «Άπειρον» ως πρωταρχή, ο Ζήνων έπλασε τα παράδοξά του για να δείξει τις δυσκολίες της κίνησης, ο Αριστοτέλης διέκρινε το δυνητικό από το ενεργεία άπειρο. Στους αιώνες που ακολούθησαν, ο λογισμός, οι απειροστικές μέθοδοι και η ανάλυση έδωσαν αυστηρό πλαίσιο σε αυτό που άλλοτε ήταν μόνο φιλοσοφικό στοχασμό.Στα μαθηματικά, το άπειρο είναι ταυτόχρονα πειθαρχημένο και μυστηριώδες. Σειρές που δεν συγκλίνουν, όπως το 1 + 2 + 3 + … , αποκτούν μεθόδους τακτοποίησης που τους αποδίδουν μια «τιμή». Έτσι προκύπτει η παράξενη εξίσωση του Ramanujan, όπου το άθροισμα των φυσικών αριθμών ισούται με −1/12, όχι με την κοινή έννοια του ορίου, αλλά μέσω της συνάρτησης ζήτα του Riemann και της αναλυτικής της συνέχειας. Παρόμοιες τεχνικές —η Cesàro, η Abel, η ζήτα-τακτοποίηση— δεν αντικαθιστούν την αριθμητική, αλλά λειτουργούν ως εργαλεία για την έρευνα σε περιοχές όπου τα άπειρα δεν μπορούν να αποφευχθούν.
Η φυσική αξιοποιεί αυτές τις μεθόδους σε αποφασιστικά σημεία. Το −1/12 εμφανίζεται στη θεωρία χορδών, όπου οι ταλαντώσεις των στοιχειωδών «χορδών» περιλαμβάνουν άπειρα μηδενικά επίπεδα ενέργειας· με την τακτοποίηση, τα άπειρα αυτά μετατρέπονται σε πεπερασμένα μεγέθη που καθιστούν τη θεωρία συνεπή. Παρόμοια, το φαινόμενο Casimir —η λεπτή ελκτική δύναμη ανάμεσα σε δύο αγώγιμες πλάκες στο κενό— προκύπτει ως διαφορά δύο άπειρων ενεργειών του κενού. Τα άπειρα εδώ δεν είναι παραλογισμός, αλλά δείκτες ότι χρειάζονται κομψές μαθηματικές μέθοδοι για να βρεθεί το φυσικό αποτέλεσμα.
Κι όμως, οι ίδιες εξισώσεις που φανερώνουν θαύματα, καταδεικνύουν και αδιέξοδα. Η Γενική Σχετικότητα του Αϊνστάιν, όταν περιγράφει τις μαύρες τρύπες ή τη Μεγάλη Έκρηξη, οδηγεί σε σημεία όπου η καμπυλότητα του χωροχρόνου γίνεται άπειρη. Οι λεγόμενες μοναδικότητες μοιάζουν να κρύβουν πίσω τους την αδυναμία της θεωρίας να συνεχίσει. Το άπειρο, σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι εργαλείο, αλλά προειδοποίηση. Κάτι λείπει· ίσως μια μελλοντική κβαντική θεωρία βαρύτητας να απαλείψει αυτές τις ανωμαλίες.
Η κοσμολογία επιχειρεί ακόμη πιο τολμηρές προσεγγίσεις. Ο Penrose φαντάστηκε έναν άπειρο κύκλο κόσμων, όπου το «τέλος» ενός σύμπαντος ταυτίζεται με την «αρχή» ενός άλλου. Σε ένα σύμπαν που διαστέλλεται τόσο ώστε όλα να γίνουν άνευ μάζας και κλίμακας, οι αποστάσεις παύουν να έχουν νόημα· τότε, με έναν συμμόρφο μετασχηματισμό, το μέλλον μπορεί να γίνει αρχή. Ένας αιώνας διαδέχεται τον επόμενο, σε μια αέναη διαδοχή. Ακόμη κι αν τα παρατηρησιακά δεδομένα δεν έχουν επιβεβαιώσει την υπόθεση, η ιδέα φωτίζει πώς το άπειρο μπορεί να γεφυρώνει το τέλος και την αρχή, τον χρόνο και την αιωνιότητα.
Το άπειρο δεν περιορίζεται στα μαθηματικά και τη φυσική· εμπνέει και παραδοξολογίες που μας κάνουν να σκεφτούμε διαφορετικά. Ο «άπειρος πίθηκος» που πληκτρολογεί τυχαία για πάντα θα γράψει κάποτε όλα τα έργα του Σαίξπηρ. Ένα κουτί με πεπερασμένη ενέργεια, σύμφωνα με το θεώρημα του Πουανκαρέ, θα επιστρέψει μετά από ασύλληπτους χρόνους σε καταστάσεις σχεδόν ίδιες με τις αρχικές του. Αυτά τα νοητικά πειράματα δείχνουν πώς το άπειρο φέρνει την πιθανότητα στο κατώφλι της βεβαιότητας και την επανάληψη στο κατώφλι της αιωνιότητας.
Στη θρησκευτική και φιλοσοφική σκέψη, το άπειρο συνδέεται με το θείο. Η αιωνιότητα, η απεραντοσύνη, η απροσμέτρητη γνώση αποδίδονται συχνά σε ένα ον υπέρτατο. Στην Ανατολή, η ατέρμονη Σαμσάρα και η λύτρωση στο Νιρβάνα μοιάζουν με κύκλους που τείνουν στο άπειρο, και με την υπέρβασή τους. Το άπειρο εδώ δεν είναι εργαλείο υπολογισμών, αλλά μεταφορά της υπέρβασης.
Έτσι, το άπειρο παραμένει ταυτόχρονα εργαλείο και μυστήριο. Στα μαθηματικά, μας επιτρέπει να περιγράψουμε το ανεξάντλητο· στη φυσική, μας δείχνει πού οι θεωρίες φτάνουν στα όριά τους· στη φιλοσοφία και τη θρησκεία, συμβολίζει το ακατάληπτο και το αιώνιο. Κάθε φορά που το συναντούμε, μας θυμίζει ότι η ανθρώπινη γνώση κινείται πάντα ανάμεσα σε δύο ορίζοντες: τον αυστηρό λογισμό και τον στοχασμό για το άπειρο που ξεπερνά τα μέτρα μας.
0 Σχόλια